立体几何概念及定理

立体几何概念

立体几何(Solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。

一般作为平面几何的后续课程。立体测绘(Stereometry)处理不同形体的体积的测量问题：圆柱，圆锥， 锥台， 球，棱柱， 楔， 瓶盖等等。

毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。

尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。

公理

立体几何中有4个公理

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。

三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。

1、三垂线定理描述的是PO(斜线)，AO(射影)，a(直线)之间的垂直关系。

2、a与PO可以相交，也可以异面。

3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。

关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂，二射，三证。即

第一，找平面(基准面)及平面垂线；

第二，找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线；

第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。

注

1.定理中四条线均针对同一平面而言；

2.应用定理关键是找"基准面"这个参照系。